정승제 선생님 수학 - 캐공방TV

 

 

정승제 선생님 수학 - 캐공방TV

 

 

영어 수학은 기초 과목이므로

 

영어는 공부의 신 강성태 66일 영어회화

 

수학은 정승제 선생님의 EBS 강의를 추천한다.

 

 

특별히 오늘  추천하는 정승제 선생님의 책은

 

수학 공부를 어떻게 해야하는가에 관한 책이다.

 

 

영어든 수학이든 컴퓨터든 운동이든 기초가 가장 중요하다.

 

 

근데 그 기초라는 것은

 

다른 사람을 가르칠 수 있는 수준을 말하는 것이다.

 

 

공식을 유도하고

 

문제 풀이 과정에

 

이유를 설명할 수 있어야 한다.

 

 

이것을 1주일에 한번씩

 

최소 5번을 반복하는 것이다.

 

 

누구에게나 시간은 한정되어 있다.

 

 

기초를 완성하는데

 

시간이 많이 걸리는 것 같지만

 

 

사실은 이것이

 

가장 빠른 길이다.

 

 

정승제 선생님의 말씀에

 

백번 공감한다.

 

 

괜한 사교육비 들이지 말고

 

 

이 책을 읽고

 

제대로 된 방향을 잡기를 바란다.

 

 

'정승제선생님이야!' 출간 기념 디제잉
https://youtu.be/MkmOY7zkuTM?feature=shared

 

 

정승제 선생님이야! (스페셜 에디션) 1등급, 수학 공부의 시작 무슨 말이 더 필요해!
https://www.yes24.com/Product/Goods/71933371

정승제 선생님이야! (스페셜 에디션) - 예스24

 

 

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[초보탈출 NO.1] 초중고 연계 수학 개념_기하와 함수

1강. 대응과 함수
2강. 순서쌍, 좌표
3강. 평행이동과 대칭이동
4강. 직선 방정식
5강. 직선의 평행과 수직
6강. 이차함수와 이차방정식 (1)
7강. 이차함수와 이차방정식 (2)
8강. 이차함수 그래프
9강. 이차함수와 이차방정식 (3)
10강. 절대값 이야기
11강. 삼각형
12강. 점과 삼각형
13강. 삼각형의 여러가지 정리
14강. 삼각비
15강. 원의 성질과 원의 방정식

 

 

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[초보탈출 NO.1] 초중고 연계 수학 개념_기하와 함수

1강. 대응과 함수
함수 : 장치 버튼 - 액션
정의역, 공역, 치역

함수 정의
일대일함수 > 일대일대응 (공역=치역)
항등함수 y=x

그래프에서 기하학적 의미

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2강. 순서쌍, 좌표

상수함수 : y 일정 (constant)

x축 : y=0 상수함수
y축 : x=0 직선의 방정식

데카르트 수학자 점과 좌표
나는 생각한다 고로 존재한다

맥주한잔, 순대국

게임
심시티(도시 건설)
MLB(메이저 리그 베이스볼)

수직선
수를 나타내는 직선

좌표평면
좌표축이 정해져 있는 평면


순서쌍과 좌표

1) 순서쌍 : 순서를 생각하여 두 수를 짝지어 나타낸 것
2) P(a, b) : 점 P의 x좌표가 a, y좌표가 b


사분면

반시계 방향
제1사분면 (a>0, b>0)
제2사분면
제3사분면
제4사분면


그래프

{ (x, f(x)) | f(x) = 2x }

이동
1. 평행이동
2. 대칭이동

점의 평행이동
그래프의 평행이동

이해 = 앎
이유를 설명할 수 있음
문제 풀 수록 능력이 향상됨
무조건 암기하면 안된다.

점대칭 : 대칭 기준이 점 (대칭 기준 점이 선분의 가운데 (중점))
원점 대칭

선대칭 : 대칭 기준이 선 (대칭 기준 선이 (수직이등분선))
x축 대칭
y축 대칭


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3강. 평행이동과 대칭이동


점(a, b)의 대칭이동
1. x축 대칭 : (a, -b)
2. y축 대칭 : (-a, b)
3. 원점 대칭 : (-a, -b)
4. y=x 대칭 : (b, a)


식의 이동
1. 평행
y = x -> x축 +2 -> y = x-2

식 : 도형의 방정식 (도형의 x, y 좌표 사이의 관계식)
직선 y = x+1
포물선 y = x^2+1
원 x^2+y^2=1

점 평행이동
(x, y) -> x축 +2 -> (x+2, y)
x' = x+2
y' = y

식 평행이동

이항
x = x'-2
y = y'

y' = x'-2

x = y -> x축 +2 -> y' = x'-2

일반화
(x, y)
y = f(x)
x:m, y:n 평행이동

(x, y) -> (x+m, y+n)
x' = x+m
y' = y+n

x = x'-m
y = y'-n
y'-n = f(x'-m) : 최종 암기 (이해 후)
식에서의 평행이동 (부호 바꿔서 대입)

예제)
x+2y-1=0
x:3, y:-2 평행이동

식을 평행이동할 때는
부호 바꿔서 대입
x = x-3 
y = y+2
(x-3)+2(y+2)-1=0
x+2y=0


식의 대칭이동
y = f(x)

y축 대칭 이동
y' = f(-x)
점의 대칭이동처럼
y 그대로두고 x의 부호를 바꾼다

대칭이동은
점의 이동과 식의 이동이 같다.

평행이동은
식의 이동 때만
비상식적으로
부호가 이항 때문에 바뀌는 것을 이해

예제)
x-2y+1=0
x축 대칭이동
(y에 -y 대입) x+2y+1=0
y=x 대칭이동
y-2x+1=0, 2x-y-1=0



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4강. 직선의 방정식

기울기 : x변화량 분의 y변화량

ex) 기울기가 4이고 (-1, 2)를 지나는 직선의 방정식?
y=4x+6

기울기가 m이고
(a, b)를 지나는 직선의 방정식
y-b = m(x-a) 이해후 암기

뭔가를 잘하고 싶으면
완벽하게 이해하고
연습만 하면 된다.

ax+by+c=0

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5강. 직선의 평행과 수직

두직선의 관계
교점 0개 : 평행 (기울기 같다)
교점 1개 : 수직포함 (기울기 다르다)
교점 무수히 많음 : 일치 (기울기와 y절편이 같다)


좋아하는 사람은
바라보면 행복하지만

사랑하는 사람은
바라보면 가슴이 아프다


두 직선이 수직인 조건
두 점 사이의 거리 공식 필요
피타고라스정리 필요 (증명 방법은 여러가지)

꼭지점ABC 삼각형의 내각 외각

삼각형의 3내각의 합은 180도

직각삼각형은
직각과 두 예각으로 이루어져 있다.
직각을 마주보는 변이 가장 길고 빗변이라함
밑변과 높이는 각에 따른 상대적 개념
빗변^2 = 밑변^2 + 높이^2
피타고라스의 정리

두점 사이의 거리 공식

ex) (-1,5) (2,7) 사이의 거리?
sqrt(13)


점과 직선사이의 거리 공식은 나중에


수학은 기억력 테스트가 아니라
사고력 테스트다.

수직인 두 직선의 기울기 관계

(m-m')^2 = 1+m^2 + 1+m'^2
-2mm' = 2
mm' = -1 이해후 암기

역수를 취하고 부호를 바꾸면
수직인 직선의 기울기가 된다.

완전제곱식
초보탈출 NO.1 초중고 연계 수학 개념_수와 연산 박자영
초보탈출 NO.1 초중고 연계 수학 개념_문자와 식 이국희
초보탈출 NO.1 초중고 연계 수학 개념_기하와 함수 이미지[연합]
초보탈출 NO.1 초중고 연계 수학 개념_확률과 통계 정유빈

수직 이등분선의 방정식을 구하라

점과 직선사이의 거리 공식을 다음 시간에 연계해서 설명

A(-1, 2), B(3, 6)
AB의 수직 이등분선의 방정식을 구하라
y = -x+5

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6강. 이차함수와 이차방정식 (1)

점과 직선사이의 거리 공식
p(m, n)
ax+by+c=0
유도방법은 생략
수직인 두직선의 기울기 곱은 -1
수선의 발
d = |am+bn+c| / sqrt(a^2+b^2)

ex) 2x-3y+1=0, (-1, 5)
d = |16| / sqrt(13)

ex) 2x-y+1=0 (5, 0)
d = |11| / sqrt(5)

x^2-3x+2=0
(x-2)(x-1)=0
x=2 or x=1

x^2-4x+4=0
(x-2)^2 = 0
x=2

x^2+4x+3=0
(x+3)(x+1)=0

x^2+4x+2=0
x^2+4x+4-2=0
(x+2)^2 = 2
x+2 = +-sqrt(2)
x = -2+-sqrt(2)

공식은 필요하지만
맹목적으로 외우는것보다

공식이 왜 필요하고
어떻게 유도되는지를 알고 외우면
정말 좋다.

풀이법
1. 인수분해 이용
2. 완전제곱식 풀이
별^2 = 달
별 = +-sqrt(달)

완전제곱식 풀이
x^2 = 4
x = +-sqrt(4) = +-2

인수분해 풀이
x^2-4=0
(x+2)(x-2)=0
x = -2 or 2

완전제곱식 풀이
좌변을 완전 제곱식으로 바꾼다
(x-1)^2=5
x-1 = +-sqrt(5)
x = 1 +-sqrt(5)

x^2+4x+2=0
2차항의 계수가 1일때
1차항의 계수의 반의 제곱이
상수항이 되어야 완전제곱이 된다

x^2-4x+4-2=0
(x-2)^2 = 2
x-2 = +-sqrt(2)
x = 2+-sqrt(2)

근의 공식 유도
ax^2+bx+c=0 (a>0)
a(x^2 + (b/a)x + b^2/4a^2 - b^2/4a^2 )+c=0
a(x+b/2a)^2 - b^2/4a + c = 0
a(x+b/2a)^2 = b^2/4a - c = b^2 -4ac/4a
(x+b/2a)^2 = b^2 -4ac/4a^2
x+b/2a = +-sqrt(b^2 -4ac/4a^2)  = +-sqrt(b^2 -4ac)/|2a|
sqrt(4a^2) = sqrt((2a)^2) = |2a| => 2a (a>0)
x = -b+-sqrt(b^2 -4ac)/2a
a가 0만아니면 성립

판별식
근과 계수와의 관계

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7강. 이차함수와 이차방정식 (2)

a가 0이 아닌 실계수 2차방정식
ax^2+bx+c=0
x = -b+-sqrt(b^2 -4ac)/2a

ax^2+2b'x+c=0
x = -2b'+-sqrt(4b'^2 -4ac)/2a
x = -2b'+-sqrt(4)sqrt(b'^2 -ac)/2a
x = -2b'+-2sqrt(b'^2 -ac)/2a
x = -b'+-sqrt(b'^2 -ac)/a

x^2-4x+2=0
-4 = 2b'
b'=-2
x = 2+-sqrt(4-2)
x = 2+-sqrt(2)

근을 판별하다
실근/허근

sqrt(3) : 실수
sqrt(0) : 실수
sqrt(-2) : 허수
sqrt(2)sqrt(-1) : 허수
sqrt(2)i : 허수

x^2-5x+7=0
x = 5+-sqrt(3)i/2 허근

판별식 D
b^2-4ac < 0 허근

D/4 = b'^2-ac

D>0 : 서로 다른 두 실근
D=0 : 서로 같은 두 실근 (중근)

ex) x^2-6x+10=0
b' = -3
D/4 : 9-10 < 0 허근

ex) 2x^2-7x+9=0
D : 49-4*2*9 < 0 허근

ex) x^2-11x+3=0
D : 121-4*3 > 0 서로 다른 두 실근


근과 계수와의 관계

두근의 합
알파+베타 = -b+sqrt(b^2 -4ac)/2a + -b-sqrt(b^2 -4ac)/2a
= -2b/2a = -b/a

두근의 곱
알파x베타 = -b+sqrt(b^2 -4ac)/2a * -b-sqrt(b^2 -4ac)/2a
= b^2 - (b^2-4ac)/4a^2 = c/a

ex) x^2-2019x+82=0
알파+베타 = 2019
알파x베타 = 82

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8강. 이차함수 그래프

x^2 = 4

y = x^2

y = ax^2
그래프꼴
2차항의 계수
a>0 아래로 볼록
a<0 위로 볼록
a의 절대값이 클수록 폭이 좁아짐
꼭짓점 (0,0)

x축 대칭이동
-y 대입

y = 5x^2
꼭짓점 (0,0)
평행이동
x:2, y:-1
y+1 = 5(x-2)^2
y = 5(x-2)^2 - 1
꼭지점 (2, -1)

y = -3(x+1)^2 - 2
꼭지점 (-1, -2)
y절편 : x에 0 대입 -5
상대에게 0 대입하면 된다.
y = -3x^2

y = -1/2(x-1)^2+3
그래프를 그리고
최대값
최소값

꼭지점 (1, 3)

함수에서의 최대, 최소는 y값
최대값 : 3
최소값 : 없다


인생은 호락호락하지 않다.

y = -3(x+1)^2 + 5 (표준형)
꼭(-1, 5)

y = -3x^2-6x+2 (일반형)

완전제곱식으로 바꾸면 된다.

y = x^2+4x+9
1차항의 계수의 반의 제곱을 붙이자

y = x^2+4x+4 + 5
= (x+2)^2+5
(-2, 5) 

y = -3x^2-9x+1
= -3 (x^2 + 3x ) +1
= -3 (x^2 + 3x + 9/4 ) + 3*9/4 +1
= -3 (x+3/2)^2 + 31/4 

y = ax^2+bx+c = 0
= a(x+b/2a)^2 + 복잡
꼭(-b/2a, 복잡)


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9강. 이차함수와 이차방정식 (3)

근의 분리
함수로 그래프로 생각하라

ex) y = x^2-2kx+4k = 0
1. 서로 다른 두 근이 모두 1보다 크다
D>0, f(1)>0, 축>1
2. 서로 다른 두 근이 모두 1보다 작다
D>0, f(1)>0, 축<1
3. 서로 다른 두 근 사이에 1이 있다
D>0(따질 필요가 없다), f(1)<0
이것을 만족하는 k의 범위를 구하라

y = x^2-4x+3=0
(x-3)(x-1)=0
x = 3 or 1

방정식에서 실근이란
그래프에서 교점의 x좌표와 같다.

허수는 대소관계를 이야기하지 않는다

1. D>0, f(1)>0, 축>1
x^2-2kx+4k = 0
D/4 > 0
k^2-4k > 0
k(k-4) > 0
k < 0 or k > 4

f(1)>0
1-2k+4k = 2k+1 > 0
2k > -1
k > -1/2

꼭지점 x = - b/2a = -(-2k)/2 = k > 1

모두 만족하는 범위 k > 4


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10강. 절대값 이야기

|x-3|
x-3 >= 0, x-3
x-3 < 0, -(x-3)

y = x^2-4

y = | x^2-4 |
x^2-4 >= 0, x^2-4
x^2-4 < 0, -(x^2-4)
-y = x^2-4
(x축 대칭)

y = |x|+5
x>=0, x+5
x<0, -x+5

y = f(|x|)
(y축 대칭)

ex)
y = x^2-4x
y = |x|^2-4|x|

결과보다
생각하는 과정이 중요하다


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11강. 삼각형

각a에서 마주보는 변, 대변

삼각형의 닮음 3조건
1. 세 변의 길이 비가 같다 SSS
a:a' = b:b' = c:c'
2. 두변의 길이 비가 같고 낀각이 같다 SAS
3. AA (내각의 합은 180)

삼각형의 합동(완전 같은 거) 3조건
1. SSS 세 변의 길이가 같다
2. SAS 두 변의 길이가 같고 낀각이 같다
3. ASA 각 두개가 같고 낀 변의 길이가 같다

이등변 삼각형
두 변의 길이가 같다
낀 꼭지점에서 대변에 수선을 그으면
합동 SSS

피타고라스
직각의 마주보는 변 빗변


정삼각형
3변의 길이가 같다

a^2 = a^2/4+x^2
3/4a^2 = x^2
sqrt(3)*a/2 = x

넓이 = 1/2*a*sqrt(3)*a/2
= sqrt(3)*a^2/4
90,60,30


삼각형의
무게중심
내심
외심


밑변을 m:n 으로 내분하는 내분점
넓이의 비는 m:n
이유는 높이가 같다


삼각형의 무게중심 정의
3 중선의 교점

중선 : 꼭지점에서 마주보는 변(대변)의 중점에 연결한 선

무게 중심의 성질
각 중선을 2:1 로 내분한다


외접원의 중심과
내접원의 중심을 설명하려면
원이 관련해서 필요하니까
접선에 관련해서 살짝만 마무리

다음시간
외심 내심 설명하는데 원이 필요하다

원의 정의
r반지름 자취

원의 성질
현과 접선
현은 원주상에 두점을 연결한 선분
지름은 중심을 지나는 현

현의 성질
이등변 삼각형
중심에서 현으로 수선을 그으면 이등분

접선에서도 수직이된다

원의 중심과 접선이 있으면
중심에서 접점에 선을 그으면
이선분은 접선과 수직이된다.

원주각과 중심각은
마지막 원이야기에서 다룬다

삼각형의 내접원의 중심을 삼각형의 내심

다음시간
직각삼각형의 합동조건

어끝피
어차피 끝은 피타고라스


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12강. 점과 삼각형


다 부질 없는 짓


내분, 외분이 필요한 이유는
삼각형 무게 중심의 좌표 때문


선분의 중점


내분 : 선분의 안쪽 1:1 내분하면 중점

외분 : 선분의 연장선상


PA : PB = m:n

내분점의 좌표
x = (mx2 + nx1)/m+n
y = (my2 + ny1)/m+n


ex) A(1,2) B(4,8)
선분AB를 2:1로 내분하는 점의 좌표는?
(3, 6)

공식 암기할 필요 없이
각 좌표의 비를 생각하면 된다.


무게중심 좌표
A(x1, y1)
B(x2, y2)
C(x3, y3)
A의 대변 중점 M ((x2+x3)/2, (y2+y3)/2)
선분AM 의 2:1 내분점 무게중심 G 좌표
((x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3)


ex) (0,0) (1,4) (5,2) 무게중심?
G(2,2)


외심, 내심을 정확하게 설명하려면
삼각형의 합동,
직각삼각형의 합동
원에서의 현과 원에서의 성질이 필요

삼각형의 합동조건 3가지
S:변, A:각
1.SSS
2.SAS
3.ASA

직각삼각형의 합동조건 2가지
R:직각, H:빗변
RHS
RHA


원의 성질
호
현
원의 중심에서 현에 수선을 그으면 이등분 (이등변 삼각형의 성질)

중심에서 접선도 수직
접선2개 직각삼각형
RHS 합동
접선의 길이 같다
각의 이등분선 성질

외심 내심 공부할 수 있는 기본

삼각형의 외심 : 외접원의 중심
삼각형의 내심 : 내접원의 중심

평행선과 삼각형

삼각형의 중점 연결 정리

각의 이등분선 정리

중점 정리


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13강. 삼각형의 여러가지 정리


외심 : 삼각형 3변의 수직이등분선의 교점 (외접원의 중심)

외심의 성질 (원과 관련 이해)
1. 외심으로부터 꼭지점까지 거리가 모두 같다
2. 3각의 합이 90도

성질을 이용
외심의 좌표 구하기


내심 : 삼각형 3 내각의 각의 이등분선의 교점 (내접원의 중심)

삼각형 3 내각의 합 180도
외각 : 연장선 바깥쪽 각도


내접원의 반지름 구하기 가장 중요
(넓이를 이용)
(1/2)*r(a+b+c)


무게중심 : 3 중선의 교점
내심 : 삼각형 3 내각의 각의 이등분선의 교점 (내접원의 중심)
외심 : 삼각형 3변의 수직이등분선의 교점 (외접원의 중심)


종이접기 체험 기억


중선 정리

AB^2 + AC^2 = (BM^2 + AM^2)*2


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14강. 삼각비


맞꼭지각은 같다

두평행선에서
동위각은 같다
엇각은 같다
 
평행선 정리
3개의 평행선
a:b = c:d


삼각형의 중점 연결 정리

닮은 조건 SAS

밑변과 평행하다 
밑변이 길이가 2배


삼각형의 각의 이등분선의 정리 (내심)
a:b = c:d
RHA 합동


암기가 필요한 부분
정의
공리

공식은 유도 이유 설명
맹목적인 암기가 문제다
이해하면 암기가 되어진다


삼각비
직각삼각형에서 두변의 길이비

sinA = 높이(대변)/빗변
cosA = 밑변/빗변
tanA = 높이(대변)/밑변


직각이등변 삼각형
45
sin45 = 1/sqrt(2)
cos45 = 1/sqrt(2)
tan45 = 1


정삼각형
60
sqrt(3)/2

sin60 = sqrt(3)/2
cos60 = 1/2
tan60 = sqrt(3)

sin30 = 1/2
cos30 = sqrt(3)/2
tan30 = 1/sqrt(3)


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15강. 원의 성질과 원의 방정식

원
중심
원주
원주율 : 3.141592 지름에대한 원주의 길이비

원주의길이 = 2파이r
원의 넓이 = 파이r^2

부채꼴
중심각30
넓이 = 파이r^2 * (30/360)
호의길이 = 2파이r * (30/360)

원주각
중심각과 원주각의 관계
중심각은 원주각의 2배

삼각형의 외각과 내각
외각과 대 내각의 합은 같다
 

반원의 원주각은 90도


정사각형 ABCD 내부에 점P
삼각형PAB가
둔각삼각형이 되기 위한
점P가 나타내는 영역의 넓이?


둔각 : 90보다큰각 90도와 180도 사이각
하나의 각만 둔각이면 둔각삼각형

예각 : 90도보다 작은각

예각과 둔각의 경계각은 90도


원에 내접하는 사각형
마주보는 각의 합이 180도


두점사이의 거리 공식
sqrt((x-a)^2+(y-b)^2) = r

원의 방정식
(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2
x^2+y^2 = r^2

 

 

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(수학_정승제)[4-6교시]_삼각함수특강.pdf

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2020/09/03 - [예수님] - 먼저 그 나라와 의를 구하라

먼저 그 나라와 의를 구하라